巴黎人app下载一个给定的消费需要多少货币才能与其消费物品束 x 的境况同好? 支出函数可以起到这种功能

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  国内外经典教材名师讲堂范里安《微观经济学高级教程》第7章 效用最大化主讲教师:张冠甲 本章要点偏好与效用函数偏好的性质消费者最优化问题间接效用函数、支出函数及其对偶性马歇尔需求函数与希克斯需求函数用货币表示消费者的效用 回顾:厂商理论——技术约束下利润最大化模型对应:消费理论——经济约束下效用最大化模型假定消费集 X (凸集和闭集)是可行的消费束集合,通常也假定其是 k 维实数空间里的一个非负子集。在消费集 X 上建立偏好关系 来表示消费束 x 至少和 y 一样好。偏好关系需要满足三个标准性质即完备性、自返性、传递性。x y  假设1:完备性...

  国内外经典教材名师讲堂范里安《微观经济学高级教程》第7章 效用最大化主讲教师:张冠甲 本章要点偏好与效用函数偏好的性质消费者最优化问题间接效用函数、支出函数及其对偶性马歇尔需求函数与希克斯需求函数用货币表示消费者的效用 回顾:厂商理论技术约束下利润最大化模型对应:消费理论经济约束下效用最大化模型假定消费集 X (凸集和闭集)是可行的消费束集合,通常也假定其是 k 维实数空间里的一个非负子集。在消费集 X 上建立偏好关系 来表示消费束 x 至少和 y 一样好。偏好关系需要满足三个标准性质即完备性、自返性、传递性。x y  假设1:完备性。对于集合 X 中的任意两个消费束 x 和 y ,或者 ,或者 ,或者二者同时成立。假设2:自返性。集合 X 中任意消费束 x , 。假设3:传递性。集合 X 中的任意消费束 x 、 y和 z ,如果 ,且 ,则 。注意:上述定义的仅仅是弱偏好序,可以进一步定义严格偏好和无差异。可进一步假设其它性质:连续性、单调性、凸性等x y  y x x x x y  y z  x z  假设4:连续性。对于 X 中的所有 y ,集合和集合 都是闭集。此假设的重要推论:如果消费束 y 严格优于z ,且如果 x 是一个足够接近于 y 的消费束,则 x必定严格优于 z 。思考不满足连续性假设的偏好例子:字典序偏好以效用函数来表示偏好:存在一个函数使得 当且仅当 。在序数效用下,单调变换可以表示同样的偏好关系。{ : } x x y  { : } x y x : u X R x y      u x u y  假设5:弱单调性。如果 ,则 。假设6:强单调性,如果 且 x y ,单调性的隐含假设:物品是有益的,多多益善。假设7:局部非饱和性假设消费集 X 中的任意消费束 x 和任意消费集 X 中存在消费束 y ,满足 且注意:强单调性蕴含着局部非饱和性,反之不一定。0  x y   y x x y  x y x y  x y  凸性与严格凸性的假设是求解消费者优化问题的方便而设立:假设8:凸性。给定消费集 X 中的消费束 x 、 y和 z ,使 和 ,若对所有的0 t l有,称为凸性。假设9:严格凸性。给定消费集 X 中的消费束 x 、 y 和 z , x y ,如果 , ,则对所有的 有 ,称为严格凸性。x z  y z   1 tx t y z   x z  y z 0 1 t     1 tx t y z    引入无差异曲线的工具后(类似生产理论中的等产量线),严格凸性意味着无差异曲线弯向原点,是新古典“边际替代率递减”假设的一般化。性质:效用函数的存在性。假定消费者偏好具有完备性、自返性、传递性、连续性和强单调性,那么,存在着一个能代表该偏好的连续效用函数证明思路:先找到这样一个实函数,再证明它和偏好的一一对应关系。:Ku R R 证明:令 e 为定义域空间内的单位向量。假定存在一个实数 ,使得 成立,进一步证明此实数存在且唯一。找两个一维实数集合W 一定非空:包含0。 B 也非空(强单调性)连续性决定 W 与 B 是闭集。 连通性意味着存在 使得进一步构造效用函数{ : } B t R te x   { : } W t R te x   xtxt e x ( ) ,(y) ,x xy yu x t t e xu t t e y其中其中  u x  x u x e  继而证明:函数关系对应偏好关系从偏好关系到函数关系边际替代率公式:( )( )x y x yx yt t t e t ex t e t e y    强单调性传递性x y x yx y t e t e t t     d( ) /d ( ) /jii jxu x xx u x x    消费者行为的基本假设:从可行消费集中选使自己效用最大化的消费束。消费者问题的描述:几个问题1.此优化是否有解?验证有解条件:目标函连续,约束集闭且有界。2.价格和收入同乘以常数,不改变约束集,m ax ( ). .u xs t px mx X 同时,由于局部非饱和性,最优解必然在约集的边界上,巴黎人app下载即约束不等式一定以等号形式成重新表述最优化问题被称为间接效用函数由消费者效用最大化问题解出需求函数可知它是零次齐次函数。    , max. .V p m u xst px m  , V p m , p m 使用拉格朗日方法求解出一阶与二阶条件一阶条件:二阶条件:效用函数海塞矩阵在约束条件下半负定的,对应于效用函数局部拟凹**( ) /( ) /i ij ju x x pu x x p  2 *( ) 0,: 0th D u x hh ph  对 于 一阶条件的图示:预算线与无差异曲线相切 间接效用函数 的性质1.对 p 非增,对 m 非减2.对 p 与 m 零次齐次3.对价格 p 拟凸4.连续性2与4 从最优化问题的表达式中得到证明。1的证明可应用包络引理。3的证明直接应用拟凸函数的定义  , V p m 采用对偶问题的思路,求得间接效用函数的函数:支出函数。支出函数与成本函数非常类似,相应的具有质1.对价格 p 非递减2.对 p 一次齐次3.凹函数4.连续性  , min. . ( )e p u pxst u x u 希克斯需求函数的思想:将消费者效用固定一个水平通过变化价格和收入来实现过补偿的需求函数。希克斯需求函数不可观察,只能观测到马歇需求函数。探讨支出函数、间接效用函数、马歇尔与希斯需求函数的关系。由于间接效用函数与支出函数是对偶问题,此必然有相同的解*x 进而有四个恒等式:效用最大化与支出最小化问题的对偶性图示                , ,, ,, , ,, , ,i ii ie p v p m mv p e p u ux p m h p v p mh p u x p e p u 罗尔恒等式:若 是马歇尔需求函有书上给出三种证明:第一种恒等式证明;第种直接应用包络定理;第二种比较有启发性:通过间接效用函数对价格求导带入效用最大化一阶条件( , ) /( , )( , ) /iiv p m px p mv p m m           1, ,,kiij i jv p m u x p mv p m u x xp x p     1,kiiv p m xp    , x p m 类似,需求函数也满足预算恒等式对价格求偏导数,同样有:得到对收入 m 求导,重复刚才的过程,有:  , px p m m  1, 0kij iijxx p m pp   ,,jjv p mx p mp ( , ) v p mm 用货币度量效用函数思想:知道消费者有多少货币,就知道消费的境况如何,前提是偏好已知。正式表述问题:在价格 p ,一个给定的消费需要多少货币才能与其消费物品束 x 的境况同好? 支出函数可以起到这种功能,即将其视为货度量的效用函数类似的思想:货币度量间接效用函数:在价p 下,消费者需要多少货币才能和他在价格 q 币为 m 时到达同样的效用?      ; , , , p q m e p v q m        , , m p x e p u x  例题:CES效用函数的支出函数、间接效用函和需求函数。已知CES效用函数:注意求解技巧,先做单调变换得知   1/1 2 1 2, u x x x x     1 2 1 21, ln u x x x x  1/1 21/1 21111 2( , ) ( )( , ) ( )( , )( )r r rr r rrr re p u p p uv p m p p mp mx p mp p   课后习题3已知消费者的间接效用函数为:求支出函数、效用函数、物品1的需求函数。显然这是一个完全替代性偏好支出函数为需求函数是角点解(思考除了用库恩塔克条此处能用罗尔恒等式吗?)  1 21 2, ,min ,mv p p mp p 1 2 1 2, u x x x x     1 2 1 2, , min , e p p u p p u  课后习题4已知间接效用函数求需求函数、支出函数、直接效用函数解:需求函数运用罗尔恒等式:支出函数可以直接将 V 换成 u :直接效用函数是互补品形式: 1 21 2, ,mv p p mp p  21 2111 2 1 2/ // 1/m p p v p mxv m p p p p             1 2, e p u p p u   1 2min , u x x  课后习题5效用函数为商品1为离散品,只能消费0或1。假设商品2格为1,且 u (0)=0问(a)消费者偏好类型。(b)商品1价格低于何值时,消费者才会消单位的商品1?(c)间接效用函数形式是什么?   1 2 1 2, u x x u x x   分析:(a)显然是拟线性偏好(b)边际上的比较:消费商品1的效用不消费商品1的效用因此消费商品1的条件(c)类似于(b)中的分析,知: 11 u m p  m   1 11 1 u m p m p u        1 2 1, , max{ 1 , } v p p m u p m m   

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